lianzhong(连续三届获得全国中学生信息学奥林匹克联赛省一等奖——探究连续取数问题的方法)
1. 背景介绍
连续取数问题是信息学竞赛中比较常见的一种问题。其题目大致为：有一个序列，从中连续取出若干个数，求这些数的和的最大/最小值等。这种问题的解法有多种多样，如枚举、递推、区间dp等，但其中一种叫做连续前缀和的方法常常被使用，本文将对这种方法进行简要介绍。
2. 连续前缀和
连续前缀和的方法比较简单，是现在信息学教育中被广泛使用的一种思路。我们以求最大连续子序列和为例，每次从序列的开头开始加起，如果加到一定位置时发现当前的和变成了负数，那么就把之前加的数去掉，从下一个位置重新开始加。代码如下：“`c++int max_subsequence_sum(){ int len = nums.length; int ans = nums[0]; int sum = 0; for(int i=0;i
3. 连续前缀和的推导思路
那么，为什么连续前缀和的方法能够解决这样的问题呢？假设我们取了原序列的一个连续子序列，它的和是 $sum$，区间 $[i,j]$ 的和是 $sum’$，那么显然它们的差值是 $sum’-sum$。如果我们能够在遍历原序列的过程中维护出 $sum’-sum$ 的最大值，那么这个最大值就是最大子序列和。为什么呢？因为其意义就是“往后取一个数，能让原先子序列和增加的最大值”。
4. 连续前缀和的优化
但是，这个算法仍然有一些缺陷。首先，虽然它能够解决最大/最小子序列和等一系列问题，但是它不能输出所取子序列的具*置，这使得其应用不够灵活。其次，由于在遍历过程中需要进行的一些判断，该算法的常数较大。对此我们可以对其进行一些优化，在每个数后面添加一些附加信息。这样做的好处是，我们不仅能够维护全局的最值，还能够得到具体的子序列的信息。代码如下：“`c++struct node{ int sum; int minn; int maxn;};struct SegmentTree{ node data[N<<2]; void pushup(int r,int mid){ data[r].minn = min(data[r<<1].minn,data[r<<1|1].minn+data[r<<1].sum); data[r].maxn = max(data[r<<1].maxn,data[r<<1|1].maxn+data[r<<1].sum); data[r].sum = data[r<<1].sum+data[r<<1|1].sum; } void build(int p,int l,int r,int nums[]){ if(l==r){ data[p] = {nums[l],nums[l],nums[l]}; return; } int mid = (l+r)>>1; build(p<<1,l,mid,nums); build(p<<1|1,mid+1,r,nums); pushup(p,mid); } node query(int p,int l,int r,int ql,int qr){ if(ql<=l && qr>=r){ return data[p]; } int mid = (l+r)>>1; if(ql<=mid && qr<=mid){ return query(p<<1,l,mid,ql,qr); }else if(ql>mid && qr>mid){ return query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr); }else{ node left = query(p<<1,l,mid,ql,mid); node right = query(p<<1|1,mid+1,r,mid+1,qr); node ans = {left.sum+right.sum,min(left.minn,right.minn+left.sum),max(left.maxn,right.maxn+left.sum)}; return ans; } }};```
5. 连续前缀和的应用
连续前缀和方法在信息学竞赛中有非常广泛的应用，如最大连续子段和、最长不降子序列、最长公共子序列、股票买卖等等。这些问题的求解都需要用到该思路，其代码的形式也大同小异，只需要针对具体问题进行一些细微的调整即可。
6. 总结
连续前缀和思路虽然看似简单，但其优越性和广泛性却不可比拟。对于信息学竞赛选手而言，精通该思路是他们能够取得好成绩的重要保障。相信随着信息学竞赛的不断普及，连续前缀和思路一定能够发挥越来越大的作用，造福更多的选手。
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